Recentemente ho pubblicato su fb il seguente post, che ha prodotto qualche mal di pancia. Di fondo c’è sempre la secolare ostilità verso la scienza dura, inaugurata dal processo a Galilei quattro secoli fa.

“Perché l’algebra non garba al palato umanistico?” mi chiedevo. Rispondevo: “Credo di sapere la risposta. Me la suggerisce un grande autore collettivo, il “matematico inesistente”, soprannominato Nicolas Bourbaki, nell’introduzione al secondo dei sei libri del suo monumentale trattato Eléments de mathématique, dedicato appunto all’algebra, secondo l’autore (gli autori) una delle tre componenti strutturali della matematica moderna, insieme alle strutture ordinali e topologiche. L’algebra risulterebbe ostica alla mentalità umanista perché – immagino – è una pratica intellettuale epistemica e contro-ontologica ai confini dell’intellettualismo; perché si basa sul saper scrivere calcoli senza effettuarli materialmente e senza curarsi della natura degli enti trattati a cui è indifferente: possono essere numeri, vettori, matrici, permutazioni di elementi, funzioni, algoritmi… purché possano eseguirsi su di essi le “quattro operazioni” elementari: somme, prodotti e le loro operazioni inverse. In ultima analisi, all’umanista l’algebra non piace perché astrae da ogni riferimento all’essere, in particolare all’essere umano; si occupa solo di evidenziare simmetrie interne alla struttura, a loro volta fondamento del meccanicismo delle scienze naturali (la malfamata applicazione della matematica alle scienze fisiche). L’algebra non è empatica ma benevolmente neutrale o neutralmente benevola, quasi come la psicanalisi. L’algebra, insomma, non piace perché è astratta, a cominciare dalla sua scrittura, che non è fonetica ma ideografica. 11 lustri fa, il nostro Lucio Lombardo Radice scrisse un esemplare manuale per studenti del primo anno del corso di laurea in matematica, dal titolo ridondante: Istituzioni di algebra astratta(1965). “Astratta” non è una parolaccia; significa “algebrica”.
A proposito di astrazione, quando nascerà il Bourbaki della psicanalisi? Sono in partenza per il Bourbakistan. Ci sentiamo al ritorno”.[1]

Quanto segue vuole alleviare i mal di pancia, involontariamente prodotti, magari solo per trasferirli in altre parti del corpo.

Non molti sanno che il Rinascimento italiano conobbe un umanesimo matematico, un fenomeno culturale prodotto da matematici e fisici come Luca Valerio, Guidubaldo del Monte, Bonaventura Cavalieri, Evangelista Torricelli, tutti del circolo di Galilei, che traducevano Euclide, riscoprivano Archimede e si dedicavano al calcolo dei baricentri, prefigurando il calcolo integrale.[2]Pochi sanno di tale fermento matematico, che portò a risolvere le equazioni algebriche di terzo grado e a scoprire i numeri complessi, perché gli storici si interessano più ai fenomeni politici che a quelli scientifici, forse proprio perché loro stessi fanno parte di quell’umanesimo che gira al largo dall’astrazione algebrica. Allora preferiscono meta-narrare la letteratura, cioè fare la storia di storie, piuttosto che della matematica. Se cerco nel catalogo ICCU “storia della letteratura”, trovo 10117 voci contro le 296 di “storia della matematica” (anche perché le lingue sono molte e la matematica ha una lingua sola, algebrica; cercando “storia della letteratura italiana”, trovo 6046 voci).
Perciò l’intellighenzia umanista non sa (o non vuole sapere) che a modo suo l’algebra, benché astratta, riguarda anche l’umano nella sua consistenza più concreta, addirittura va al cuore del politico, per ciò che attiene alle scelte sociali. “Scelte sociali e valori individuali” è appunto il titolo del saggio pubblicato da Kenneth Arrow nel 1951, che gli valse il premio Nobel per l’economia nel 1972. In quel testo Arrow presentò un caso spinoso di indecidibilità politica, di importanza soggettiva pari, se non superiore, proprio perché collettiva e non solo individuale, all’indecidibilità sintattica evidenziata in aritmetica da Gödel e semantica in logica da Tarski. La matematica tratta anche problemi che non sa risolvere; li risolve riconoscendoli insolubili come tali.

Arrow affrontò il paradosso di Condorcet sull’intransitività delle votazioni, scovato da quel marchese nelle carceri della rivoluzione francese, dove capitò per incompatibilità con Robespierre, morendo, forse suicida, nel 1794). Il caso riguarda il soggetto collettivo ed è tanto semplice quanto inquietante. Ci sono tre scelte in conflitto, A, B e C, tra cui il collettivo è chiamato a scegliere esprimendo il proprio voto. Se nelle singole votazioni a maggioranza semplice A batte B, B batte C, C batte A, come si può scegliere collettivamente in modo razionale tra le tre alternative?

Se si comincia dal ballottaggio A vs B, vince A, che confrontato con C perde; collettivamente si impone C, benché C sarebbe stato battuto da B, magari a stragrande maggioranza, se C fosse stato testato prima vsB.
 Se, invece, si comincia dal ballottaggio B vs C, vince B, che confrontato con A perde; collettivamente si impone A, benché A sarebbe stato battuto da C, magari a stragrande maggioranza, se A fosse stato testato prima vsC.

Non molto meglio andrebbero le cose, cominciando dal ballottaggio C vs A, che porterebbe a scegliere B. La scelta razionale e imparziale sembra impossibile. Per far vincere un partito basta poco; basta che chi guida il balletto elettorale lo convochi al secondo ballottaggio.

Sembra che nessuna “mano invisibile” possa venirci in aiuto a risolvere il rompicapo di come passare in modo coerente dalle scelte individuali alle collettive. Adam Smith non ha nulla da dirci con la sua mitologia liberale del laissez faire. Il gioco delle tre carte A, B e C, non ha un punto di equilibrio predeterminato, si direbbe oggi in teoria dei giochi.

Il fatto irritante è che la razionalità si salva, invece, nella scelta maggioritaria tra due sole alternative A e B. Ciò giustifica il successo storico delle varie contrapposizioni binarie tra Destra e Sinistra, Repubblicani e Democratici, Socialisti e Liberali, Progressisti e Conservatori (elezioni primarie a parte, che possono prevedere alternative non binarie). Non è stata la forza delle rispettive  ideologie a imporre il bipolarismo nei più disparati contesti socioculturali; è stata la sua intrinseca razionalità, garantita dal teorema di May, che prevede il trasferimento integrale e fedele delle preferenze dai soggetti individuali al soggetto collettivo. Nel caso binario il soggetto collettivo esiste come prodotto  dei soggetti individuali. Non così se l’alternativa è tra più di due componenti.

Il merito di Arrow fu di avere individuato le condizioni sufficienti affinché si produca il paradosso di Condorcet. Esse sono cinque e non configurano niente di meno che l’assetto democratico del collettivo. Ecco come le riporta Wikipedia:

1. universalità (o dominio non ristretto): la funzione di scelta sociale dovrebbe creare un ordinamento delle preferenze sociali deterministico (ossia non soggetto a incertezza sulle caratteristiche e le conseguenze di tutte le alternative) e completo (ossia che comprende tutte le scelte possibili) a partire da qualsiasi insieme iniziale di preferenze individuali;

2. non imposizione (o sovranità del cittadino): qualsiasi possibile preferenza sociale deve essere raggiungibile a partire da un appropriato insieme di preferenze individuali (ogni risultato deve poter essere raggiunto in qualche maniera);

3. non dittatorialità o assenza di imposizioni: la funzione di scelta sociale non deve semplicemente seguire l'ordinamento delle preferenze di un individuo o un sottoinsieme di individui, al contempo ignorando le preferenze degli altri;

4. monotonicità o isotonia, o associazione positiva tra i valori individuali e sociali: se un individuo modifica il proprio ordinamento di preferenze promuovendo una data opzione, la funzione di scelta sociale deve promuovere tale opzione o restare invariata, ma non può assegnare a tale opzione una preferenza minore (nessuno assegnandole una preferenza maggiore);

5. indipendenza dalle alternative irrilevanti o rilevanza: se si confina l’attenzione a un sottoinsieme di opzioni, e la funzione di scelta sociale è applicata ad esse soltanto, il risultato deve essere compatibile con il caso in cui la funzione di scelta sociale è applicata all'intero insieme di alternative possibili.
Il teorema di Arrow afferma che se il gruppo di cittadini votanti comprende almeno due individui e l’insieme delle alternative possibili contiene almeno tre opzioni, non è possibile costruire una funzione di scelta sociale che soddisfi al contempo i requisiti sopra enunciati.

Insomma – paradosso nel paradosso, anzi per assurdo – in democrazia è necessario un dittatore per passare dalle preferenze individuali alle scelte collettive. Non c’è altra razionalità; forse la democrazia non esiste.

Wikipedia ricorda ancora che, secondo una versione alternativa del teorema di Arrow, il requisito di monotonicità è rimpiazzato dall’unanimità(o criterio paretiano, o efficienza paretiana): se ogni singolo individuo preferisce una certa opzione A all’opzione B, allora A deve essere preferita a B anche da parte della funzione di scelta sociale.

Per un’analisi accurata del paradosso rimando a P.G. Odifreddi, C'era una volta un paradosso – storie di illusioni e verità rovesciate,Einaudi, Torino 2001. Qui mi limito a riportare una considerazione psicanalitica, precisamente freudiana, suggeritami dall’economista Amartya Sen.

Il collettivo analizzato da Arrow e Pareto è – si direbbe – una massa freudiana, del tutto analoga a quella presentata da Freud nel saggio del 1921, intitolato Psicologia delle masse [sic] e analisi dell’Io. Secondo Freud una massa èformata da individui che non interagiscono tra di loro e sono tutti identificati al loro Führer, edipicamente inteso come reincarnazione del padre primordiale morto (Urvater), anzi ucciso dai fratelli, che ne presero il posto. È difficile senza scambi di informazioni o di merci pensare un collettivo realistico, poco meno che dittatoriale. Eppure Freud pensò mitologicamente la sua massa proprio così, come massa di individui isolati ma tra loro impastati, un vero e proprio magma:[3] ogni individuo è una monade senza finestre, completamente identificata al proprio Führer, posto a livello di ideale dell’Io come oggetto d’amore (una volta odiato), in assenza di interazioni positive (collaborazioni) o negative (competizioni) con altri individui suoi consimili. I modelli di massa freudiana furono la Chiesa e l’esercito, masse rigidamente organizzate in modo gerarchico e prive della dimensione del prossimo. Non stupisce che in tali masse il dittatore ritorni in campo anche nel gioco elettorale. In fondo è lui che tutti gli elettori amano e vogliono che ritorni tra loro come loro “eletto”.[4]

Gli assiomi proposti da Arrow definiscono, in effetti, una massa freudiana di individui isolati l’uno dall’altro e non interagenti fra loro. Come potrebbero generare un “organismo” collettivo senza riferimenti interpersonali? Esiste il sociale senza l’interindividuale? Sen suggerisce di aggirare il teorema di Arrow consentendo alleanze e scambi di informazioni tra elettori. Forse bisognerebbe far presente ad Arrow, che non bastano le preferenze individuali a determinare le scelte sociali, ma ci vuol altro. Forse sarebbe addirittura meglio esordire in assenza di preferenze, sotto un “velo di ignoranza”, per avviare un programma di giustizia sociale, come propose John Rawls vent’anni dopo Arrow con la sua Teoria della giustizia.

Chi ha esplicitamente concepito una sociologia dei sistemi collettivi interattivi, dove ogni sistema offre all’altro l’ambiente in cui interagire, è stato Niklas Luhmann, che ha trasferito alla sociologia l’acquisizione dei sistemi caotici, originariamente scoperti in meteorologia da Edward Lorenz negli anni Sessanta del secolo scorso. Chi non sa dell’effetto farfalla o della dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali in certi processi deterministici che evolvono verso il caos (attrattori strani di Lorenz)? A chi voglia approfondire e aggiornarsi sull’argomento segnalo il prossimo numero 383 di “aut aut”, dedicato al tema di Luhmann e la complessità.

Qui si apre, però, un altro fronte di analisi, che segnalo senza affrontarlo. Se è vero che nella massa freudiana di singoli individui il collettivo non esiste, o esiste in forma degenere (dittatoriale), è anche vero che, aumentando il numero dei sistemi sociali e delle loro interazioni, le quali crescono esponenzialmente rispetto al loro numero. Si configura così una prospettiva di caos sociale indeterministico in un sistema tanto complesso, dovuto – come dicono gli esperti – all’esistenza di punti di biforcazione irreversibili nell’evoluzione del sistema dinamico complessivo. Una volta di più, ma in modo simmetrico a prima, l’esistenza del collettivo è messa in crisi, in questo caso non dall’Uno ma dai Molti. Dalla padella alla brace.

Esiste una via di mezzo che conferisca probabilità non nulla all’esistenza del soggetto collettivo? Sul punto la psicanalisi freudiana maestosamente tace. Le scuole di psicanalisi di origine freudiana sono infatti strutturate come dittature, in coerenza con la dottrina freudiana. Sembra inevitabile che l’esistenza del soggetto collettivo dipenda da ideologie o scale di valori, più o meno dittatoriali, che ne costituiscono l’anima. In psicopatologia il Super-Io individuale si trasforma senza residui in Super-Io collettivo e viceversa.

A proposito di anima, segnalo la valenza psicopatologica per il soggetto individuale del tema del soggetto collettivo. Non esiste infatti paranoia individuale che non peschi in qualche delirio collettivo. È sempre il collettivo a prestare i suoi modelli di pensiero al soggetto individuale. Basta pensare al delirio collettivo di “America first” o “prima gli italiani”, alimentato dalla persecuzione dei migranti, a sua volta alimentante i deliri individuali del capufficio che ce l’ha con te o della moglie fedifraga. A livello collettivo vigono le teorie del complotto, a livello individuale i deliri di persecuzione e di grandezza, quasi che la paranoia sia la nostra malattia mentale “normale” sia livello collettivo che individuale. Forse non è un caso che l’attuale presidente degli Stati Uniti sia un complottista dichiarato. Il poeta sa queste cose meglio dello psicanalista. Sa anche che esiste il rovescio della persecuzione e del complotto: un amore individuale può nascere – per controparadosso, si direbbe – dall’odio collettivo, come dimostra la storia di Romeo e Giulietta.

Concludendo, il soggetto collettivo non esiste molto e, se esiste, per lo più non brilla per originalità; per questa ragione continuo a parlarne in questa rubrica, a scanso di qualche mal di pancia. Da freudiano mi muove l’esigenza – quasi una pulsione, per dirla con Freud – di superare le ristrettezze del pensiero di Freud, giusto per salvare le sue indiscutibili e preziose aperture scientifiche (absit iniuria verbo).